O Número de Ouro

É um dos números mais misteriosos da natureza. Aparece em obras de arte, mas também em galáxias, flores e voos de aves Há números que nos surpreendem. Aparecem inesperadamente e nas situações mais diversas. Tome-se por exemplo pi, o número que representa o quociente do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro. Esse número aparece igualmente nas fórmulas da área do círculo e da superfície e volume da esfera. Isso não parece difícil de entender, pois alguma coisa terá a circunferência a ver com essas outras medidas. Mas já não é fácil entender a razão por que pi aparece em estatística, na função exponencial complexa e ainda em somas de séries numéricas como 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16... 

Outro desses números surpreendentes é o chamado número de ouro, também conhecido como rácio dourado ou proporção divina. Costuma-se representar pela letra grega maiúscula φ Fi e corresponde a metade da soma da raiz quadrada de cinco com a unidade (1 + raiz quadrada de 5 sobre 2). É um número irracional, dado pela dízima infinita não periódica 1,61803398... 

Mario Livio, um astrónomo norte-americano do Instituto Científico do Telescópio Espacial Hubble, publicou agora um livro em que lhe chama "o número mais surpreendente do mundo" (The Golden Ratio, Review, Londres). Podemos ficar espantados por alguém ter escrito uma obra inteiramente dedicada a esse estranho número, mas isso não é ainda nada, pois trata-se apenas do mais recente de vários livros, que se somam a incontáveis artigos centrados no mesmo tema. 

Dado apenas pela fórmula acima ou por 1,61803398..., este número de ouro não parece ter nada de especial. É apenas mais um número. As surpresas começam quando se observam as situações em que ele aparece.

Comecemos pelo princípio, ou seja pelo primeiro registo conhecido desse número. Como com muitas outras coisas em matemática, somos levados aos Elementos de Euclides, a obra mais influente de toda a história desta disciplina. Euclides define aí o que chama "divisão em extremo" e "rácio médio". Explica tratar-se da divisão de um segmento em duas partes desiguais com uma propriedade particular: o quociente entre o segmento inteiro e a parte maior é igual ao quociente entre as partes maior e menor. Feitas as contas, vê-se que essa proporção tem de corresponder precisamente a Fi, a que chamamos número de ouro. O tema foi retomado no século XIII por Leonardo de Pisa (c. 1170-1240), mais conhecido como Fibonacci, e por Fra Luca Pacioli (1445-1517), que introduziu a expressão «proporção divina». Só em meados do século XIX aparecem as designações "rácio dourado" e "número de ouro". 

História

A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No Egito as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea : A razão entre a altura de um face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. O Papiro de Rhind (Egípcio) refere-se a uma "razão sagrada" que se crê ser o número de ouro. Esta razão ou secção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade .

Construído muitas centenas de anos depois( entre 447 e 433 a. C.) , o Partenon Grego , templo representativo do século de Péricles contém a razão de Ouro no rectângulo que contêm a fachada (Largura / Altura), o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. O escultor e arquitecto encarregado da construção deste templo foi Fídias. A designação adoptada para o número de ouro é a inicial do nome deste arquitecto - a letra grega f (Phi maiúsculo).

Os Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção da estrela pentagonal.

Não conseguiram exprimir como quociente entre dois números inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado (pentáculo) e o lado do pentágono regular inscritos numa circunferência. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isto era muito contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam que lhe chamaram irracional.

Foi o primeiro número irracional de que se teve consciência que o era. Este número era o número ou secção de ouro apesar deste nome só lhe ser atribuído uns dois mil anos depois.

Posteriormente, ainda os gregos consideraram que o retângulo cujos lados apresentavam esta relação apresentava uma especial harmonia estética que lhe chamaram retângulo áureo ou rectângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional.

Endoxus foi um matemático grego que se tornou conhecido devido à sua teoria das proporções e ao método da exaustão, criou uma série de teoremas gerais de geometria e aplicou o método de análise para estudar a secção que se acredita ser a secção de ouro.

 No fim da Idade Média havia duas escolas matemáticas: uma, a escola da igreja e universidade, voltada para um âmbito mais teórico e exaustivo e outra com uma finalidade mais prática e objetiva, a escola do comércio e dos mercadores à qual pertencia Fibonacci.

A contribuição de Fibonacci para o número de ouro está relacionada com a solução do seu problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, a sequência de números de Fibonacci.

É que as sucessivas razões entre um número e o que o antecede vão-se aproximando do número de ouro. Outro matemático que contribuiu para o estudo e divulgação do número de ouro foi Pacioli. Uma curiosidade deste matemático é que foi o primeiro a ter um retrato autêntico.

Publicou em 1509 uma edição que teve pouco sucesso de Euclides e um trabalho com o título De Divina Proportione. Esse trabalho dizia respeito a polígonos regulares e sólidos e a razão de ouro.

 Uma contribuição que não pode ser deixada de referir foi a contribuição de Leonardo Da Vinci (1452-1519) . A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas.

É lembrado como matemático apesar da sua mente irrequieta não se concentrar na aritmética, álgebra ou geometria o tempo suficiente para fazer uma contribuição significativa. Representa bem o homem tipo da renascença que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Leonardo era um génio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de matemática, nomeadamente o número de ouro, nas suas obras de arte. Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas de Leonardo, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscritos na circunferência.




Fonte: educ.fc.ul.pt e ipg.pt